解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵正三角形ABC的边长为a，∴OD= 1 2 a，CD= 3 2 a，在△ODC中，OD+CD＞OC，∴当O、D、C三点共线时OC最长，最大值为 1 2 a+ 3 2 a= 3 +1 2 a．故答案为： 3 +1 2 a．
