高数二重积分，第八题

对于重积分，multiple integral，有对称问题，

有关于奇函数在对称区域积分为0的情况,

也有偶函数在对称区域积分对于半个区域积分的两倍的情况。

先看被积函数 integrand，再看积分区域 boundary，or domain or interval or area： 

A、先看被积函数是否是关于 x 轴的奇函数或偶函数，再看是否是关于 y 轴的奇函数或偶函数； 千万不要急于求成，同时看是否是关于 x、y 的奇函数或偶函数；

B、再画出积分区域，看看积分区域是否对称与x轴，或对称于y轴： 

a、如果被积函数是关于 y 轴的奇函数，也就是 f(-x) = -f(x)，

     而积分区域对称于一、二象限，则积分为0；

b、如果被积函数是关于 x 轴的奇函数，也就是 f(-y) = -f(y)，

     而积分区域对称于一、四象限，则积分为0；

     其余依此类推。

简单来说，

对于x轴对称的偶函数，第一、第四象限积分相等；第二第三象限积分相等；

对于y轴对称的偶函数，第一、第二象限积分相等；第三第四象限积分相等。

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