设n阶行列式D=aijn=4且D中各列元素之和均为3 并记元素aij的代数余子式为Aij 试求 所有Aij之和

所有Aij之和为4n/3。

设n阶行列式D=aijn=4且D中各列元素之和均为3 并记元素aij的代数余子式为Aij 中，D的各行都加到第一行上, 那么第一行都是3，将第一行的3提出来, 那么第一行的元素就都为1，用第一行的元素乘以其各自的代数余子式,就是3×∑A1j=4，那么第一行的代数余子式之和为4/3。

如果将D的各行都加到第二行上, 那么第二行都是3，同理第二行的代数余子式之和也是4/3，依次求得其余各行的代数余子式之和均为4/3，所以所有代数余子式之和就是4n/3。

扩展资料：

线性代数定理

每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一矩 阵 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零，矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构，矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零，矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零，判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

答案是  4n/3

具体过程如下：

把D的各行都加到第一行上,可以得到第一行的结果都是3，

再把第一行的3全部提出来,然后第一行的所有元素都变为1，

所以用第一行的元素乘以这个各自的代数余子式，结果也就是3×∑A1j=4，

因此第一行的代数余子式之和的结果就是4/3，

接着再把D的各行都加到上面第二行上,可以得到第二行的结果都是3，

同样的道理，所以第二行的代数余子式之和的结果也是4/3，

再依次按顺序可以求得其余各行的代数余子式之和均为4/3，

所以该题的所有代数余子式之和的结果就是4n/3。

扩展资料：

代数余子式求和的方法和技巧：

1、首先就是第1行的代数余子式之和等于把原行列式的第1行元素都换为1所得的行列式。

2、随后命题2n阶行列式的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

3、接下来第n行的代数余子式之和等于把原行列式的第n行元素都换为1所得的行列式。

4、最后所有代数余子式之和就是上面n个新行列式之和。以上就是代数余子式求和技巧。

将D的各行都加到第一行上，那么第一行都是3
将第一行的3提出来，那么第一行的元素就都为1
用第一行的元素乘以其各自的代数余子式，就是3×∑A1j=4
那么第一行的代数余子式之和为4/3

将D的各行都加到第二行上，那么第二行都是3
同理第二行的代数余子式之和也是4/3

依次求得其余各行的代数余子式之和均为4/3
所以所有代数余子式之和就是4n/3

楼上正解