①证明：∵∠A1AB=60°∴∠BB1M=60°
∵侧面ABB1A1是边长为2的菱形，M是A1B1的中点
∴BB1=2，B1M=1∴在△BB1M中，
由余弦定理得：BM2=4+1-2×2×1×
=3，1 2
∴BB12=BM2+BM2∴∠BMB1=90°，
∴BM⊥A1B1
∴BM⊥AB∵BM⊥AC，AB∩AC=C，
∴BM⊥平面ABC
②解：连接MC1，BC1，取BC1的中点O，连接OB1，
由①知BM⊥平面ABC，
∴BM⊥平面A1B1C1，
∵A1B1，MC1?平面A1B1C1
∴BM⊥MC1，BM⊥A1B1，
又△A1B1C1是正三角形，M为中点，∴A1B1⊥MC1
∵MC1∩BM=M，∴B1M⊥面BMC1．∴VB1?BMC1=
×1×1 3
×1 2
×
3
=
3
1 2
在RT△BMC1中，BM=C1M=
，∴C1B=
3
∴BO=
6
，由于BB1=B1C1=2，∴B1O=
6
2
4?
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